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2008.03.20

【実験】モンティホールジレンマの話 (続き)

先週末、例の実験をしてみました。

Hi370005
ブレブレですが、実験に使ったカード。
ジョーカーを見てわかる人はわかるかな?
PlayngCard社のバイシクルですw

Hi370004
そして実験中の様子w



とりあえず200回やってみたのですが、結果はこんな感じになりました。
ダウンロード MH_Prob.xls (43.5K)
ジョーカーをJ、spadeをS、diamondをD、heartをH、clubをCで表してあります。

100回時点では選:残は23:14、200回時点では選:残は45:35でした。
どちらも選の方の頻度が高いのが気になりますが、だんだん差が縮まりそうな気配。
もうちょっとデータを増やしたい所なので、手動でやっても良かったのですが、桁が変わるほどやるにはチト時間が…。
別にカードをいじる事自体は苦でもなんでもないんですけどね。


で、こんなソフトを作ってみました。
Hc0001

まだ、(1)からやり直すパターンしか動きませんが、さっそく5000回のデータ取りに挑戦。
こんな結果になりました、
ダウンロード 5000.csv (42.1K)
結果は
「選」が当たりの頻度は980
「残」が当たりの頻度は1008
「やり直し」回数は3012回でした。
ざっくり、選:やり直し:残=1:3:1
で、まぁ、私以外の人にとっては、だから言ったじゃんって感じの結果になりましたw


…で、増えていく数字を眺めて思ったのですが、これ、こういう数え方をする限り、
(3)からやり直しても1:1になるのでは?
昨日くらいから柴崎さんが言ってくれてるのはそういう事なのかも。
まずは、ソフト何とかしてみようかなと。

---
日付変わったけど改造完了
同じく5000ほどやってみて、結果は
「選」が当たりの頻度は312
「残」が当たりの頻度は1224
「やり直し」回数は3465回でした。
ダウンロード 5001_2.csv (40.2K)

ほぼキレイに1:4ですね。
ある意味ホッとしたんですが、これででも、柴崎さんの話がわからなくなったw
どういう条件のお話だったんでしょう?
(1)からやり直しても、こんな条件を設定すれば確率が偏りますよってことですか?


で、作ってみた実験ツールです。
上の画像とちょっとかわってますけどw
ダウンロード MH_Probrem.lzh (314.9K)
やり直し方法の選択と、ボタン3つだけなので使い方はわかりますよね?

ソースは…あまりに汚いので今はちょっと勘弁してくださいwww

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コメント

考察の追加は次の通りです。

(3)からやり直すモデルは、
「モンティホール問題で選択者が正解を知らない場合」のうち、
「選択者が3枚のハズレの位置を知っている特殊な場合」
に該当します。
2枚目以降の配り直しをすることで、その状況を模擬しています。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.21 09:57

なお、↑で選択者と呼んでいるのは、3枚のカードを開く人のことです。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.21 11:03

(3)を繰り返して偶然「選×××残」の状態になるというのはどういうことか?
全パターンを列挙して眺めてみましょう。

まず、最初に選んだ1枚がアタリだった場合、(3)でのやりなおしは発生しません。
ですから(3)でやり直している間、開けた順を「1→2→3」とすると全パターンではこうですね。
  123残
  ○××× →また失敗、やりなおし
  ×○×× →また失敗、やりなおし
  ××○× →また失敗、やりなおし
  ×××○ →偶然成功した
何度失敗しても成功するまで繰り返すのですから、この4パターンは全て成功「×××○」だったとみなせます。
 「選××××」の1パターン : 「選×××○」とみなせる4パターン
モンティホール問題の形です。
アタリを知って残すのとアタリが残るまでやりなおすのは当然同じ結果、言葉の言い換えにすぎません。

投稿: えぬ! | 2008.03.21 23:03

次に、やり直しをしないで「偶然」成功した場合はどうでしょうか?
これも全パターン、選んだり開けたりした順に並べると
 選123残
 ○×××× →偶然成功
 ×○××× →失敗
 ××○×× →失敗
 ×××○× →失敗
 ××××○ →偶然成功
ですから、「失敗したら(3)からやり直し」という特別ルールがないならば
 選123残
 ○××××
 ××××○
の2パターンだけ。失敗は単に条件不成立です。
やり直しをしないで「偶然」成功した場合は単に1:1なのが明白ですね。

投稿: えぬ! | 2008.03.21 23:05

結果が出ているものをうだうだ言いたくないですけど、
(1)からやり直しても良いと言ったのは私の間違いでした。
ただし、
>アタリを知って残すのとアタリが残るまでやりなおすのは
>当然同じ結果、言葉の言い換えにすぎません。
については、同じ結果になるのはそりゃそうでしょう。
そういう例としてあげたんですから。

ただし、「知らないと絶対無理」という人に対して
「知らなくてもこうすれば出来るよ」という例としてあげたわけですから
結果が同じだから同じ意味(たんなる言い替え)と言われるのは
承諾できません。

私自身の勘違いで盛大に話がそれてますが、もともとの論点は
「出題者があたりを知っていることは必須条件か?」
この一点だけです。
(「必須条件」の定義は示されていないので必要十分条件と同義とみなすことにします。)

そして、
・出題者があたりを知っていても選んだ中にあたりがないことを挑戦者が知らなければ意味がないこと
・出題者があたりを知らなくても同等の結果になる方法があること
を示して、「出題者があたりを知っているかどうか」は必要条件でも十分条件でもないと言っているのです。

私は最初から一貫して
「モンティホール問題の発生条件は出題者がどうのこうのではなく、挑戦者がはずれの位置を知ることだ」
と言っています。
ですから、私の主張に反論したいなら、
「出題者があたりの位置を知っていれば、挑戦者がはずれの情報を知らなくても確率が偏る」
ことを示してください。

(3)からやり直すことが、出題者があたりを知っていることと同じかどうかを議論するつもりはさらさらありませんので。

投稿: コーディ | 2008.03.22 00:09

それは「宝くじで1等を当てるのは簡単だ、当たるまで引き続ければいいのだ」というのと同じようなことですね。

特に反論したいわけではないですが、「出題者があたりの位置を知っていれば、挑戦者がはずれの情報を知らなくても確率が偏る」この時点で疑問を持っていますか?出題者が条件不成立を避けようとするという前提で。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 07:05

「挑戦者がはずれの情報を知らなくても」の部分を読み落としていました。
それはどういう意味でしょうか?出題者が「はずれを取り除いた」と知らず、「あたりかはずれかわからない3枚を取り除いた」ということ?
だとしたら確率が偏ることはないですね。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 07:08

「モンティホール問題の発生条件は出題者がどうのこうのではなく、挑戦者がはずれの位置を知ることだ」に関しては、03.21 23:05の例で示している偶然成功した場合にも成り立っています。
取り除いたのが必然なら1:4、偶然なら1:1。
どちらかわからないなら、残に変えた方がよいという点では同じ結果と言えます。
「モンティホール問題の発生条件」と書いているのが1:4になる条件という意味であれば、それは違います。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 07:18

>03.21 23:05の例で示している偶然成功した場合にも成り立っています。

あれは、えぬ!さんが勝手に「明らかです」と書いてあるだけで、
確率が同じかどうかの検証は一切されていませyんよね?
到達点が2つしかないことと、発生頻度が同じであることすら等価ではありません。

だいたいにして、
挑戦者が1枚のカードを選んだ
出題者が(ホントは単なる偶然なんだけど)3枚のハズレカードをさらした
さあ、あなたは残ったカードと交換しますかしませんか?

はじめの問題とどこが違うんですか?
どこがどう違うから、はじめの問題では確率が1:4になってこの場合は確率が1:1になるんですか?

そもそも挑戦者は、どうやったら出題者が正解を知ってたか、偶然なのかわかるんですか?


これから出かけるので、コメントいただいても回答は日曜の夜になりますので
ゆっくり考えてみてください

投稿: コーディ | 2008.03.22 07:52

同じことを繰り返し言い換えるのに飽きてきてはいますが、言葉的なことでもうひとつはっきりと。

(3)でやり直しが1回でも発生した場合、出題者はアタリの位置を知っています。
・選ばれなかった4枚のうちにアタリが入っていることを知った
・最終的に4枚のうち3枚のハズレを知った
のですから、当然アタリ位置は残った1枚です。
この状態でアタリ位置に気づかなかったから知らなかったというのは、理論展開としては無理があります。

ですから「出題者があたりを知らなくても」選×××残の形になるのは03.21 23:05で示した2パターンだけで、わずかでも対価が発生するなら選択を変えるべきではありません。
モンティホール問題と同等の結果とは言えないですよね。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 07:59

ついでに、宝くじの例について

たしかに同じかも知れませんね。
少なくとも私は、現実問題として実践可能か?ではなく
理屈上存在しうるか?の話をしているので
それが同じであると認めてもまったく支障はありませんが?

投稿: コーディ | 2008.03.22 07:59

>あれは、えぬ!さんが勝手に「明らかです」と書いてあるだけで、
>確率が同じかどうかの検証は一切されていませyんよね?
おお、そこの確率が同じでないかもしれないと考えていますか。
書き添えるなら、

 選123残
 ○×××× →偶然成功(20%)
 ×○××× →失敗(20%)
 ××○×× →失敗(20%)
 ×××○× →失敗(20%)
 ××××○ →偶然成功(20%)
ですから、「失敗したら(3)からやり直し」という特別ルールがないならば
 選123残
 ○××××(20%)
 ××××○(20%)

検証は、カードとプログラムでされたはずですが?

投稿: えぬ! | 2008.03.22 08:06

>(3)でやり直しが1回でも発生した場合、出題者はアタリの位置を知っています。

やり直しの時、シャッフルすれば当たりの位置はわからなくなりますね。
少なくとも、私が作ったソフトではシャッフルしています。
それでも確率は1:4になってますね。

無意味な話をしてる気がするのでもうひとつ条件を足します。
×「出題者があたりの位置を知っている」→○「出題者があたりのカードを特定している」


問題は、「出題者が・・・」ではなく「挑戦者が・・・」であると言っているのに「出題者が・・・」の部分の言い換えにのみなぜこだわるのでしょう?
変に言い換えにこだわるより「挑戦者が知らなくてもなるよ」という例があれば一発なんですけど?

投稿: コーディ | 2008.03.22 08:09

>やり直しの時、シャッフルすれば当たりの位置はわからなくなりますね。
いえ、シャッフルした段階ではまだわからないですが、ハズレ3枚を開けた瞬間にアタリの位置は特定できています。

「挑戦者が知らなくても」出題者が知っていればなるよ
「挑戦者が知らなくて」出題者が知らばければならないよ
と私は言っているのですから、「挑戦者が知らなくてもなるよ」を挙げるのはコーディさんじゃないのですか?

投稿: えぬ! | 2008.03.22 08:16

携帯からなので参照がうまくできませんがご容赦を。

今回に限って言えばその点はOKですけどね
一般論としては、発生確率が同じでも
発生頻度が同じとは限りません。試行回数を評価する必要があります(今回の件の一番の教訓ですw)

もっとも今は、一発勝負で起きるかどうかの話をしてるので頻度もクソもありませんがw


私が言いたいのは、当然です、自明ですと説明を省略してる箇所に本当に検証の余地はないですか?ということです。

特に○○は××と同じですと仰っているところに異論を挟みたい所が沢山あります

投稿: コーディ | 2008.03.22 08:34

>はじめの問題とどこが違うんですか?
>どこがどう違うから、はじめの問題では確率が1:4になってこの場合は確率が1:1になるんですか?

ここで初心に返ってw、私はCRのところで初めてこの問題と解説を見たとき、問題文に必要な条件が書ききられていないと思いました。
はじめの問題でも、そのとき見た問題文だけでは1:4ではないんです。
そのとき書いたコメントがこれです。

>これ問題の書き方に問題あるよなー。
>そういうルールでやると事前に言ってあればEだけど
>ノールールからいきなりだったら、相手が賞金を渡したいのか渡したくないのかで違う。
>
>...ていうか、当てたら100万円くれるって書いてないから1万円払ったら丸損かもしれん。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 08:40

ま、異論があるところで気になるものがあれば、急ぐ必要はないのですからここでもメールでもいいのでゆっくりと。

>一般論としては、発生確率が同じでも発生頻度が同じとは限りません。
それはもちろん。試行回数が多くなれば発生確率と発生頻度が「近づく」のが確率論です。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 08:48

>、「挑戦者が知らなくてもなるよ」を挙げるのはコーディさんじゃないのですか?

いや、私が、「挑戦者が知らなくてもなるよ」って言うと自分で自分の説を否定することになりますからw
私の説を否定したければそっちのアプローチもあるよって言ってるだけです。

>いえ、シャッフルした段階ではまだわからないですが、
>ハズレ3枚を開けた瞬間にアタリの位置は特定できています。

そこを言い出すと、問題として成立しないでしょ(苦)

じゃあ、こんなのどうでしょう、検証してません。思い付きです。

最初に選ばれた1枚は伏せたままです。
後の4枚は処理方法が決まってれば、出題者本人がやり直ししなくても自動化できますよね。
やり直しが発生したかどうかもわからないようにして×××残の結果だけ晒す。

これなら出題者も情報を知らず、「×××残」の状態が出来たとみなしてもらえますか。
それから、出題者が開くとして、偶然一発で「×××」が開けてしまった場合は?
(理屈上ありえるかの話をしてるのに、なんでこんな方法論の議論をしなくちゃいけないんだか…)


>それはもちろん。試行回数が多くなれば発生確率と
>発生頻度が「近づく」のが確率論です。

(全体の)試行回数が多い少ないではなく、試行回数が「均一かどうか」
(均一であることををどう保証するか、均一でないならどの程度偏っているか)も
検討する必要があるといっています。

投稿: コーディ | 2008.03.22 09:16

>これ問題の書き方に問題あるよなー。
>そういうルールでやると事前に言ってあればEだけど
>ノールールからいきなりだったら、相手が賞金を渡したいのか渡したくないのかで違う。
>
>...ていうか、当てたら100万円くれるって書いてないから1万円払ったら丸損かもしれん。

今、その話は関係ないでしょと言いたいところですが、そういう考え方は好きですよ。
選択変更ルールが途中で示されたなら私でもブラフの可能性を疑います。
「こいつ渡したくて/渡したくなくて、急にルールを後付したな」と

ただ、同じ所にコメントかいてますが、私は5択の当選率は
2割で十分と思っているので、結局変えません。
最初の選択の確率が2割から減るようなルール変更なら
検討しますけどね。

投稿: コーディ | 2008.03.22 09:22

(帰ってからで全然問題ないです)
いや私は別にコーディさんの説を否定したいわけではないんです。
ただ説として何を主張したいのか今もってわからないのと、そのわからない理由である「言葉が明確でない」ということを言っているだけで。

「出題者がアタリを知っている」のと同じ状態を作り出せるなら、(それは言い換えもしくは見方を変えているだけでしょうから)話は変わらない。そこは何も異論ありません。
例えば
・出題者以外の誰かが「この3枚はハズレだから開け」と教えてくれた場合
 →出題者自身は選と残のどちらにアタリがあるか知りませんが、教えた人にはわかっています
・(3)でやりなおした場合
 →さっき書いたように開けた時点でアタリ位置を知っていますから同じです
たぶん他にも挙げられるでしょう。

ただ「選×××残」の状態をアタリ位置を知らないままで作り出して、しかもその条件で1:4になる、少なくとも1:1でなくなる方法が今のところ見当たらないです。

>そこを言い出すと、問題として成立しないでしょ(苦)
いや、説の例として適切じゃないでしょ、という指摘なだけです。
元々問題にはなかった追加ルールですから。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 10:11

>それから、出題者が開くとして、偶然一発で「×××」が開けてしまった場合は?
その場合は1:1の確率だから変えるべきではない、と何度か書いています。これでも1:4になるよね?と言うのなら、NOです。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 10:22

>・出題者以外の誰かが「この3枚はハズレだから開け」と教えてくれた場合
> →出題者自身は選と残のどちらにアタリがあるか知りませんが、教えた人にはわかっています

知っていても伝えられなければ出題者には「選」があたりか「残」あたりかわからないでしょうに。
しかも、やり直しが発生しなければ裏でハズレを選んだ人にもわかりません。
人が介在するのが嫌なら今回のようにプログラムに任せて
結果だけ表示しても良いですよ。
問題はそこではないと何度も言ってるんですが?


>その場合は1:1の確率だから変えるべきではない、と何度か書いています。
>これでも1:4になるよね?と言うのなら、NOです。

NOですと言われても、現実問題としてなっていますから(苦)。

(1)でからやり直したときの私の実験結果を見直してください。
トータルの頻度が選と残の頻度が1:1になっているのは
「選」の抽選の頻度が「残」の4倍だからです。
抽選回数を表示しないとわからないならそのように改造しましょうか?
「選×××残」となった特定の1回の試行に対してなら、確率は1:4です。
なのに、抽選頻度が違うせいでそのように見えないので、
私の説の実証実験のやり方としては不適切でした。

対して(3)からやり直す方法は「選」の抽選1回に対して「残」の抽選もかならず1回行われます。

投稿: コーディ | 2008.03.22 11:17

>「選」の抽選の頻度が「残」の4倍だからです。
残を抽選しなかったのは残以外にJが出たから、つまり残がJでないことが確定したからですよね?単純に開ける手数を減らすために。
途中でJが出ても気にせず最後まで開けたと考えてください。
選の抽選回数と残の抽選回数には実質差はありません。
(だから途中で開けるのをやめていいよね?と聞かれたのだと思ってましたが)

投稿: えぬ! | 2008.03.22 11:33

>「選」の抽選の頻度が「残」の4倍

5000回で
>「選」が当たりの頻度は980
>「残」が当たりの頻度は1008
>「やり直し」回数は3012回でした。
と書かれていますから「残」の抽選が行われたのは5000回中1988回ではないのですか?
「選」は5000回抽選されているので、抽選回数の比は5:2だと思うのですが。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 11:54

>途中でJが出ても気にせず最後まで開けたと考えてください。

それを数えるということは「選×××残」にならなかった場合も
数えている事になります。
(方法によらず)「選×××残」になったときの確率は?という私の設問とは反します。

どうしても数字で比較したいなら
「選」の抽選頻度が100回の時点と
「残」の抽選頻度が100回の時点で
それぞれの当たりの頻度を見比べるしかないですね。

投稿: コーディ | 2008.03.22 11:58

回数が少ないので差は出るでしょうが、
・選の抽選頻度100回 → 選のアタリ予想回数=20回
 この時点での残のアタリ予想回数=20回
・残の抽選頻度100回 → 全試行予想回数=250回 → 残のアタリ予想回数=50回
 250回の試行で選にアタリが入っている予想回数=50回

投稿: えぬ! | 2008.03.22 12:05

>それを数えるということは「選×××残」にならなかった場合も数えている事になります。
>(方法によらず)「選×××残」になったときの確率は?という私の設問とは反します。

やりなおしの回数を数える必要はありません。
全て開けたとして、「選×××残」になったときの回数だけ数えればOKです。

投稿: えぬ! | 2008.03.22 12:07

また後ほどコメントしますね。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.23 18:02

うーん、良くわからなくなってきた

>やりなおしの回数を数える必要はありません。
>全て開けたとして、「選×××残」になったときの回数だけ数えればOKです。

これに関しては、ここで言う数えるとは「母集団に加える」という意味です。紛らわしい言い方ですみません。
なんですが、これを除外するとどう数えても、えぬ!さんの言うとおり抽選数は5:2になる。

5とか2の由来が理解できれば私が何をどう間違ってるかわかるんでしょうけど。


っていうか、コメント書こうとしたら、メンテナンス中ですって言われるんだけど、今日は大丈夫?

投稿: コーディ | 2008.03.26 18:54

以下が現時点でのコメントです。
最初のコーディさんの設問には、定義されていない「隠れた変数」があって、
それで解釈のゆらぎを生じているのかなと感じます。
具体的には、「カードを開く人の当たりの知識の程度」と
それによって起こりうる「現実に当たりを開いてしまう現象の棄却」の扱いです。
そのことで、「選」の当たり確率は、
変数によって2割にも5割にもなるのではないでしょうか。
実験では、当たりを開いてしまうことの回避は
「選×××残」の状態を作りだすアルゴリズムに投影されていますが、
その両極端の場合を示していることになると思います。
更に、実験データの「当たりを開いてしまった場合の棄却」の扱い方によって、
データの集計方法に補正を加えれば、
二つの実験は同じ意味を持つと読むこともできます。
それは、二つの実験が棄却の扱い方以外は全く同じだからです。

ここまでの書き込みを読んだ感じでは、
えぬ!氏の説明は、コーディさんの個々の疑問に答えていて、
用語のすれ違いを除き、特に誤りは無いように思います。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.29 13:00

激しく間があきました…

結局、確率1/5のくじを普通にひいて、
2~4が当たった場合には目をつぶって(ノーカウント、やり直し)
1の当たりの頻度と5の当たりの頻度だけを数えようとしてるんだから
イーブンになって当たり前と。


そうなんだけど、この釈然としない感はなんだろう?
俺はどこに引っかかってるんだろう?
もう少し1人でじっくり考えてみます。

投稿: コーディ | 2008.04.03 11:55

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