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2008.03.12

モンティホールジレンマの話(その1)

マイミクさんの間で妙に盛り上がってるので私なりの説明を書いてみる

…の前に、このネタを持ってきてくれたシーアールに感謝w


もともとの問題はこれ。

あなたの目の前に5個の箱があります その中のどれか一つに100万円を入れました 私はその位置を知っていますが、あなたは知りません その箱は左からA、B、C、D、Eとします そしてあなたはAを選択しました そこで私はB、C、Dを開けたところ空でした ここで、あなたは1万円払えば残ったEに選択を変更できる権利を与えられました

さて、あなたはAを選びますか?Eを選びますか?

さぁ、どっち選ぶ?

というもの。
…で
http://fsokuvip.blog101.fc2.com/blog-entry-495.html
をじっくり読んだり
[ ネコでもわかるモンティホールジレンマ]
で、猫に教えてもらったりすればわかるんですが
Aが当たりである確率は20%、Eが当たりである確率は80%になります。
あなたは信じられますかw

まず、なぜ確率20:80になるか。

改めて問題を書きましょう。

A B C D E
□□□□□
5つの箱の中に当たりが1つあります。

あなたはAを選びました。
A B C D E
?□□□□
この時、Aが当たりである確率は20%。これは問題ないですね?

ここで、当たりの位置を知っている人の手でBCDの3つがハズレであることが公開されました。
A B C D E
?×××□

この時、Aが当たりである確率は20%、Eが当たりである確率は80%になります。
ホントだってw

条件を整理してみたらきっと理解できます。理屈はきわめて単純です。

条件1:確率は変動しない
A B C D E
?□□□□
あなたは5つの箱から1つを選びました。この箱が当たりである確率は20%です。
たとえ、その後にBがはずれである事がわかっても、
C、Dがはずれであることがわかっても、それは変わりません。
例外は2つだけ
A B C D E
?□□◎□
A以外に当たりがあることがわかってしまった場合と、
A B C D E
●□□□□
Aの中を見て結果を確認してしまった場合。
それ以外の場合、Aが当たりである確率はずっと20%です。

OKですね?じゃあ、次。

条件2:確率は変動する
えーっと、石は、石は投げないでくださいw
順番に読んでいけばわかりますから。

A B C D E
□□□□□
開いていない5つの箱があり当たりが1つあります。
この時Aが当たりである確率は20%。

A B C D E
□□□□×
Eを開いて確認したらはずれでした。
これで開いていないの箱が4つ。この時Aが当たりである確率は25%。
A B C D E
□□□××
Dも開いて確認したらはずれでした。
これで開いていないの箱は3つ。この時Aが当たりである確率は33.3%。

A B C D E
□××××
BCも開いて確認したらはずれでした。
これで開いていないの箱はAのみ。この時Aが当たりである確率は100%。

これも疑う余地はありませんね。


この2つの条件を頭に入れて最初の問題をもう一度読んでみてください。
最後の
A B C D E
?×××□
の状態で、あなたが最初に選んだAが当たりである確率が20%である理由は
条件1そのままです。
逆に、BCDEに当たりがある確率は80%です。(これもOKですよね。)

そしてB、C、Dがはずれである事が公開されたのでBCDEに当たりがある確率80%が
未公開のE1つに集約されます。これは条件2そのまま。

ね。疑う余地はないでしょ?


実際の例として宝くじを考えてみましょう。
数は多くても少なくても一緒なのでイメージしやすい所で発行枚数10000枚、当たりは1枚とします。

あなたは500円で1枚購入しました。さて、抽選日。
むこうの方で「10枚買ったのにはずれた…orz」という声が聞こえてきます。
あっちの方からは「1000枚買ったのに全滅だ!!!人生オワタ」とか言ってますw

でも、残念ながらあなたの買った宝くじが当たる確率は相変わらず10000分の1のままです。
ただ、誰かが悲しむたびに、あなたでもない、彼らでもない他の誰かのくじが当たりである確率が
じわじわと上がっていっている。それだけの話。


長くなったので分けますw。

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