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2008.03.12

モンティホールジレンマの話(その2)

前提条件の説明が思ったより長くなってしまったw
ホントに書きたかったのはここからなんだけど。

(その1)の話が正しかったとして次のような場合はどうなるの?(いや、正しいんですけどね)


A)もう1人の観察者
最初のゲームをしているときBさんがこっそり立ち聞きしていました。
面白そうな話だなと思ったBさんは、自分の中でこっそりEを選択しました。
A B C D E
□□□□?

その後、BCDがハズレであることがわかると
A B C D E
□×××?

こうなるとBさんの視点ではEが当たりである確率は20%、Aが当たりである確率は80%になります。
あれ?さっきの話と矛盾するんじゃ?!

そもそも、2つしか残っていないのに、私が選んだAが当たりである確率が20%。
Bさんが選んだEがある確率も20%。あれ?残り60%はどこにいった?

というか、2つしか残っていないのに、私が残したEが当たりである確率が80%。
Bさんが残したAがある確率も80%。100%越えてんじゃんw

答え:
 矛盾しません。
 というか、違う条件で求めた確率を足し引きしたり、比較したりしても意味はありませんw
 立場は違うけど、同じ方法で求めた確率なので比較したくなるのはわからなくもないけど

かなり強引な例えですが、「明日雨が降る確率は?」と問われ場合。

・過去100年間の3月13日の天候を調べて雨であった確率を求める
・数年間の天候データから、前々日が雨、前日が曇りのとき、当日が雨である確率を求める
・正攻法で天気図の読み方を勉強する

どの方法でもそれなりに根拠がある「明日が雨である確率」が求められそうです。
でも、おそらく全部違う値になります。むしろ一致したら気持ち悪いです。
同様にそれぞれの方法で晴れの確率、曇りの確率、雨の確率を求めて足しても
100%にならないのもわかりますよね。 

同じ事象に対する確率であっても、下敷きにする条件が違うとこれくらい違うんだと思ってください。


B)出題者の存在
(その1)にでてきたモンティホールジレンマの問題では、当たりの箱を知っている出題者がいて
第2段階で出題者が3つの箱がハズレであることを公開します。
出題者が当たりの箱を知っていることは必須条件か?

答え:
 必須条件ではないけど、知ってる方がやりやすいですね。

なに、この歯切れの悪い回答w
と、いうかこれは質問が悪いwww

最後に20%:80%になる必須条件は?という質問であるなら、

1.自分が選んだ箱の当否を確認していないこと
2.除外される3つの箱がハズレであることが確定していること
3.最後に残る箱の当否を確認していないこと

この3つです。
そして、この状態を作り出すためには、出題者は正解の箱を知っている方が
きわめて都合が良いと言えます。

ただし、出題者が答えを知っていても除外した3つの箱の当否を公開しなかった場合は
Eの確率は20%のままですし、逆に、出題者が答えを知らない状態であっても
続けて3つハズレを引くまで最初からやり直すなどして上記3つの条件を満たす状態を
作り出せるなら確率20%:80%の状態になるので、「出題者が当たりの箱を知っている」ことは
必要条件でも十分条件でもありません。
ただ、正解を知らずに3つ選んだ箱の中に当たりが紛れ込む確率は60%ですからね。
知ってる方が話が早いのは当然です。


C)ふりだしに戻す
ゲームの仮定で当たりの確率が20%と80%と偏ってしまった2つの箱。
A B C D E
?×××□
これを本来の50%:50%に戻すための条件は?

答え:
 2つが同じ色、形、大きさで区別のつかない箱であるなら、
 シャッフルしてどちらがAでどちらがEかわからなくしてしまえば
 確率は50%:50%になります。
 逆に、2つの箱に違いがあり、A,Eの区別が付いてしまう場合、
 確率はずっと20%と80%のままです。
 観察している人の記憶を消しでもしない限りは…(汗)。

ただ、勘違いしてはいけないのは、当たる確率20%でも当たることはあります。
そして当たる確率80%でもハズレることはあります。
だって、Bさん視点では、Aの箱こそが当たる確率80%でEは確率20%なんですから。
そして、途中から参加して経緯を知らないCさんがいると、Cさんにとっては2つの箱は5分5分です。
最終的に発生する事象は1つなのに見方が違うと確率がこれだけ変わってしまう。
つまり、確率なんて所詮その程度のものということです。

もっというなら、母集団から標本を選んでそこから確率を求めたような場合にいたっては
確率0%の事象でさえ起こることを否定できません。
その場合は、単に標本の数が足りなかったか、選び方がまずかったかな?というだけの話。

ですから、確率とか統計のデータを見る場合には、数字の大小だけでなく、その数値が
どのような条件の下に算出されたかにも気を配る必要があります。
たとえば、同じアンケートでも、街頭で通りすがりの人を捕まえるのと、ネットで調べるのとでは
回答者の構成が変わってしまうので当然結果も変わってくるでしょう。

なんか盛大に話がそれましたが(汗)、確率なんてあてになるとは限りませんよということで。

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