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2008.03.14

【実験】モンティホールジレンマの話

数日前から書いてるモンティホールジレンマの件。

どう考えても、自分の説が間違っているとは思えないないのですが
そうじゃないと主張する人に納得してもらうだけの説明能力もないので
実験で試してみることにしました。

ちなみに私の説とは

答えを知っていようが、偶然だろうが、努力の賜物だろうが最終的に 選×××残 1つを選択、ハズレが3つ公開される、1つ残る という状態になれば、最初に選んだ箱と最後に残った箱の当たりの確率は1:4になる

これに対して、そうでないと仰る方々は、

モンティホールジレンマのように確率が偏るためには途中の3つを開く人が正解の位置を知っていて、
確実に(=100%)の確率でハズレ3つを開くことが必要。
そうでなければ、単なるくじ引き問題であり、最初と最後の箱の野当たりの確率は5分5分である。
という主張のようです。

どちらが正しいか(あるいはどちらも間違っているかw)調べるためには、
途中のハズレを3つ晒す段階で、正解の位置は知らないんだけど、
続けて3つのハズレを引くという状態を作らなければなりません。

考えてもうまい手が思い浮かばないので力技で行くことにしました。
すなわち、失敗したらやり直すことで、無理やり↑の状態を作るw

具体的には次のような方法です。

トランプのAのカード4枚とJOKER1枚を用意 (1)5枚のカードをシャッフル。 (2)1枚目を確認せずに伏せた状態で置く。 (3)3枚を表向きで並べる。ここにJOKERが含まれたら(1)からやり直し。 (4)(3)の条件をパスしたら、残ったカードを伏せた状態で並べる。 (5)伏せたカードを表にして確認する。

こういう試行を繰り返した場合の
(I)トータルの試行回数
(II)(3)でやり直した回数
(III)(2)のカードがJOKERだった回数
(IV)(4)のカードがJOKERだった回数
この4つをカウントする



某所で上の方法を提案してあわせて

相談したいこと
・上のやり方に問題点はないですか?
・特にやり直しは(1)からで良いかな?(3)だけ?
  自分のイメージではどちらも等価なんだけど
  後でツッコミが入らない方法にしたいので
・やり直しはJOKERが出た時点で残りのカード開かないけど問題ないよね?

を書いてから半日ほど経過しましたが今のところこれではダメだろ、という
明確な反対意見はありません。
この様子なら、この方法で充分な回数の試行を行なって(III)と(IV)の値の比較をして、

・同程度の値なら上の状態はモンティホール問題の条件を満たしていない
 (たんなるくじ引きを下だけ)
・1:4に近くなれば上の状態はモンティホール問題の条件を満たしている
 (モンティホール問題の成り立つ条件に「ハズレを除外する人は正解の位置を知っている事」は不要)

といっても良さそうです。


あとは、何回試せば納得いくデータになるかですが。
私のイメージとして、確率の話をするのにサンプルが数十ってことはないだろう。
少なくとも数百のオーダーのデータが必要。
でも、千を越えるとなるととても手動ではやってられない。
ということで、まずは500回を目標にしようと思います。
方法に異議さえつかなければ、テスト数は後からいくらでも追加できますしね。
少なすぎるといった人に続きをやってもらうことにしましょうかw


まぁ、方法に異議もうしばらく待ってみることにします。

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コメント

この話題の存在に、いま気付いたので、あとで考えてみます。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.15 09:36

柴崎さんだ。
ご無沙汰してます。
そういえば、すごく好きそうな話題ですよねw
是非、ご意見ください。


トランプを発掘したので、ためしに6回ほどやってみたら6回ともやり直しとかw
自分で言っておいてなんですが、やり直しの確率ってホントに6割か??

投稿: コーディ | 2008.03.15 09:58

洗濯機をボーッと眺めながら考えてて自分の考えを一言で表せる
一般表現を思いついた。

カードの総枚数がわかっているなら
自分が引くカードが当たりである確率は
カードを引く時に、ハズレのカードが何枚特定できているか
にのみ依存して変動する。

したがって、(1)からやり直すか(3)からやり直すかは結果に影響しない。
何度やり直そうと、(1)の時点でハズレのカードが特定されていない事実は変わらないから。

また、3枚のカードを除外する人が正解を知っているか、偶然により除外したかも結果に影響しない。
いずれにせよ、カード選択時に3枚のハズレカードが除外されているという事実に変わりはないから。

除外された3枚のカードの当否が公開されていないなら、ハズレカードの位置が特定されたことにならないので、最後のカードの確率は元々の2割のまま。

投稿: コーディ | 2008.03.15 10:54

(1)からやり直すか(3)からやり直すかで、まったく異なる種類の実験になると思います。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.15 11:02

現時点でのコメントは次の通りです。
・カードは5枚でなくても3枚以上なら何枚でもよい。3枚ならば、1対1になるか1対2になるかの比較になります。
・この実験はプログラムに書いて実行するのが良いでしょう。
・アルゴリズム中で(1)からやり直すか(3)からやり直すかは、問題の核心に迫る箇所だと思うので、実験をするなら両方を試行すると良いです。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.15 11:17

柴崎さん。コメントありがとうございます。

このパターンは先に某所でもらった意見の中では
えぬ!さんと同じと思われます。

改めてコメントを返しておくと

>・カードは5枚でなくても3枚以上なら何枚でもよい。
>3枚ならば、1対1になるか1対2になるかの比較になります。

全く同意です。
結果を眺めるときに1:4くらいの差がつくほうが
わかりやすいかなという思いもあって
当初から例としてあげられていた5を採用しただけです。

>・この実験はプログラムに書いて実行するのが良いでしょう。

これも同意ですね。
ただ、いきなりプログラム化すると、予想と異なる結果がでた時に
そもそも、そのプログラムはホントに正しいのか?という意見が出るのは目に見えていて、
かつ、同じになるか異なるかという正反対の主張をしている以上、
絶対どちらかの予想と異なる結果がでてしまいます。
だからまず、目に見える(誰でも検証可能な)やり方で傾向を見て、
必要であればプログラムを組んでみようかと思ってます。
その場合はソースごと公開しますけど。

>・アルゴリズム中で(1)からやり直すか(3)からやり直すかは、
>問題の核心に迫る箇所だと思うので、実験をするなら両方を
>試行すると良いです。

そうなんですけど、(3)からやり直すと確率が偏ることは
みんな認めているはずなんです。
(1)からやり直したとき、確率が偏るか偏らないかの問題。
プログラム化する時には、切り替えにしたいですけど
今回、手作業でやるにあたってはパスさせてもらいます。

…というかそんなことありえないと思ってたので深く考えたことなかったのですが
(1)からやり直すと何の確率が変わる(と思われる)んだろう?

(a) やり直そうが、やり直すまいが、最初に選ばれる「選」のカードの当たりである確率はずっと1/5ですよね? まさか、この確率が変わるってこと?何でだろ?

(b) (3)からやり直した時、最後の「残」のカードが当たりの確率は8割。
これはみんな一致しているはず。
じゃあ、(1)からやり直すと8割以外になるのか?
(a)で「選」のカードの確率が変わるという人なら当然「残」の確率も変わることになるだろう。まぁ、それは置いておく。
「選」のカードの確率は常に2割と認めながら「残」のカードの確率が変わるという人。じゃあ、いくつになるのでしょう?
8割より大きい?まさかですよね?
8割より少ない?ハズレカードが3枚除外されてるのに?

結局、(1)からやり直すか(3)からやり直すかで「選」のカードの
当たりの確率が変わるかどうかが意見の分かれ目か。
「選」が当たりだと絶対やり直しが発生しないってあたりが
確率が偏るような気にさせるのかな?

投稿: コーディ | 2008.03.15 11:58

実験をどちらかの条件だけで行うのであれば、「(1)からやり直す」で良いと思います。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.15 14:33

こちらでははじめまして。
実験は始めたようなので、とある人にはメールで送っておいた感想を。
(メールにはここまで解説してませんがw)

私がもしこの実験をやるなら、要素数を6としてサイコロふります。
1が出る確率と6が出る確率、それが(1)でやりなおす実験と等価です。
(3)でやりなおす実験は、1が出る確率と「1以外が」でる確率との比較です。

投稿: えぬ! | 2008.03.16 10:02

少し脇道にそれますが、
(A)『最終的に 選×××残 1つを選択、ハズレが3つ公開される、1つ残る』という状態になったとする。途中の3つを開いた人が正解を知らないで開いた確率をPと置くとき、最初に選んだ箱が正解の確率QをPの式で表せ。
(B)確率PとQを求めることはできるか? できる場合はその値を求めよ。
という問題は、いかがでしょう。

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.17 23:05

>えぬ! さん
サイコロで…って話は聞いたけど、そういう意味か。
そこまではわかります。OKだと思います。
(1)でやりなおすとそれが変わってしまう理由が…、あれ?

とりあえず200ほどやってみたんで結果晒したいんだけど
土日遊び過ぎで眠すぎw今夜こそ頑張ります。

「選」の方が頻度高かったのは偶然で1:1くらいに収束するのか?
いずれにしろこの傾向から「残」が圧倒的に高い所に行き着くのはなさそうかな。

>柴崎さん
じっくり読んで考えてからコメントします。
すみません。

投稿: コーディ | 2008.03.18 07:47

サイコロでの実験がなぜそうなるのかは考えてもらうとして、
ヒント:実質的にはどちらもやり直していない。カードを伏せることにも意味はない。

投稿: えぬ! | 2008.03.18 08:03

ていうか、モンティホールジレンマの話を頭に残しすぎだと思いますよ。
先入観を捨てて実験の文章を読み直したら普通に答えは出るんじゃないでしょうか。

投稿: えぬ! | 2008.03.18 08:18

コーディさんの出題を少しアレンジしてみました。以下の問題は、いかがでしょう。
(C)箱を選んだ人は、3つのハズレを開いた人がそれを選んだ理由(正解を知っていたのか偶然なのか努力の賜物によるものか)を知らないとする。箱を選んだ後、結果として、選×××残 1つを選択、ハズレが3つ公開される、1つ残るという状態になったとき、最初に選んだ箱と最後に残った箱の当たりの確率はいくらか?

投稿: 柴崎@銀河企画 | 2008.03.18 09:37

ふぅ・・・

投稿: ぴかりん | 2008.03.18 22:19

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